<div dir="ltr"><div><div>Hi Mario,<br><br></div> You've probably found Forster's "Weak systems of Set Theory Related to HOL"<br><br><cite class=""><a href="https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tf/maltapaper.ps">https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tf/maltapaper.ps</a></cite><br><br></div><div>Which clarifies things a bit: HOL is *exactly* as strong as "Mac Lane set theory", which is Zermelo set theory with only *bounded* comprehension (no quantifiers over all sets)<br>and so is quite weaker than Zermelo set theory <i>per se</i>.<br><br></div><div>A nice article by Alexandre Miquel describes a variant of HOL (which allows additional quantifications) that is *exactly* as powerful as Z: they are equiconsistent (in PA).<br><br></div><div>"lambda Z: Zermelo's Set Theory as a PTS with 4 Sorts"<br><br><a href="http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2150524">http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2150524</a><br><br></div><div>This rather nicely settles the question of finding a type theory as powerful as Z set theory. I think ZF is considerably more difficult, and as far as I know the question is still open.<br><br></div><div>Best,<br><br></div><div>Cody<br></div><div><br></div><div><cite></cite><cite class=""></cite></div></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Jan 6, 2015 at 4:48 AM, Mario Carneiro <span dir="ltr"><<a href="mailto:di.gama@gmail.com" target="_blank">di.gama@gmail.com</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div><div>Hello all,<br><br></div>I'm trying to locate any research done on what kinds of subsystems of ZFC can be embedded into higher order logic. My initial approach on the subject leads me to believe that HOL can embed any proof in Z, using the following method:<br><br>HOL contains types of cardinality om (omega), ~P om, ~P ~P om, etc for any 
finite number of ~P's (the powerset operation). Since any 
particular proof in Z will use the theorems "om e. V" (omega exists) and
 "x e. V -> ~P x e. V" (a powerset exists) finitely many times, you 
could define a function on types (does such a thing exist?) saying that a
 type A is "n-large" meaning there is an injection from ~P ~P ... ~P om 
to A (where there are n ~P symbols), and then a proof in Z would get V 
mapped to an arbitrary type A, and if there are n ~P's used in the proof
 you would preface the entire proof with "A is n-large". When you are 
done and ready to map the model back to the regular HOL notions, you 
replace A with ind->bool->...->bool (n times), and then prove 
that this type is n-large to discharge the extra assumption.<br><br>Does anyone know of any papers or work done in the direction of embedding fragments of ZFC in HOL like this?<span class="HOEnZb"><font color="#888888"><br><br></font></span></div><span class="HOEnZb"><font color="#888888">Mario Carneiro<br></font></span></div>
<br>_______________________________________________<br>
FOM mailing list<br>
<a href="mailto:FOM@cs.nyu.edu">FOM@cs.nyu.edu</a><br>
<a href="http://www.cs.nyu.edu/mailman/listinfo/fom" target="_blank">http://www.cs.nyu.edu/mailman/listinfo/fom</a><br>
<br></blockquote></div><br></div>